Cardinal vs Ordinal
I vårt dagliga liv kan användningen av siffror ta olika former i olika situationer. När vi till exempel räknar för att räkna ut storleken på en samling objekt räknar vi dem som en, två, tre och så vidare. När vi vill räkna något för att få en känsla av objektenas position räknar vi dem som första, andra, tredje och så vidare. I den första räkneformen sägs siffror vara huvudnummer. I den andra formen av räkning betraktas siffrorna som ordinära tal. I detta sammanhang är begreppen kardinal och ordinal helt en fråga om lingvistik; kardinal och ordinal är adjektiv.
Utvidgningen av begreppet till uppsättningar i matematik avslöjar dock ett mycket djupare och bredare perspektiv och kan inte behandlas enkelt. I den här artikeln kommer vi att försöka förstå de grundläggande begreppen kardinal- och ordinalnummer i matematik.
Formella definitioner av kardinal- och ordinalnummer ges i uppsättningsteorin. Definitionerna är invecklade och för att förstå dem i perfekt mening behöver bakgrundskunskap i uppsättningsteori. Därför kommer vi att vända oss mot ett par exempel för att förstå begreppen heuristiskt.
Tänk på de två uppsättningarna {1,3,6,4,5,2} och {buss, bil, färja, tåg, flygplan, helikopter}. Varje uppsättning listar en uppsättning element, och om vi räknar antalet element är det uppenbart att var och en har samma antal element, vilket är 6. När vi når denna slutsats har vi tagit storleken på en uppsättning och jämfört med en annan med en siffra. Ett sådant nummer kallas ett huvudnummer. Därför kan vi säga att ett huvudnummer är ett tal som vi kan använda för att jämföra storleken på de ändliga uppsättningarna.
Återigen kan den första uppsättningen nummer ordnas i stigande ordning med tanke på storleken på varje element och att jämföra dem. I beställningsprocessen betraktas siffrorna som kardinaler. På samma sätt kan uppsättningen av alla icke-negativa heltal beställas i en uppsättning; dvs. {0,1,2,3,4, …..}. Men i det här fallet blir storleken på uppsättningen oändlig, och det är inte möjligt att ge det i form av ordinarier. Oavsett hur stort nummer du väljer för att ge storleken på uppsättningen kommer det fortfarande att finnas nummer kvar i den uppsättning du väljer och vilka är icke-negativa heltal.
Därför definierar matematiker denna oändliga kardinal (som är den första) som Aleph-0, skriven som א (första bokstaven i det hebreiska alfabetet). Formellt är ordningsnumret ordningstypen för en välordnad uppsättning. Därför kan det slutliga uppsättningarnas ordinarie nummer ges med huvudnummer, men för oändliga uppsättningar ges ordinal med transfinita siffror som Aleph-0.
Vad är skillnaden mellan kardinal- och ordinalnummer?
• Huvudnumret är ett tal som kan användas för att räkna eller för att ge storleken på en ändlig beställd uppsättning. Alla huvudnummer är ordinaler.
• Ordinalsiffrorna är siffror som används för att ge storleken på både ändliga och oändliga ordnade uppsättningar. Storleken på de ändliga ordnade uppsättningarna ges av vanliga hindu-arabiska algebraiska siffror, och den oändliga uppsättningsstorleken ges av transfinita siffror.
