Differentiering mot derivat
I differentiell beräkning är derivat och differentiering nära besläktade, men väldigt olika, och används för att representera två viktiga matematiska begrepp relaterade till funktioner.
Vad är derivat?
Derivat av en funktion mäter den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras när dess ingång ändras. I flervariabla funktioner beror ändringen av funktionsvärdet på riktningen för ändringen av värdena för de oberoende variablerna. I sådana fall väljs därför en specifik riktning och funktionen differentieras i den specifika riktningen. Det här derivatet kallas riktningsderivatet. Partiella derivat är en speciell typ av riktade derivat.
Derivat för en vektorvärderad funktion f kan definieras som gränsen
varhelst den existerar. Som nämnts tidigare ger detta oss ökningshastigheten för funktionen f längs vektorn u. I fallet med en enkelvärderad funktion minskar detta till den välkända definitionen av derivatet,
Till exempel
är det överallt differentierbart, och derivatet är lika med gränsen
som är lika med
. Derivaten av funktioner som
finns överallt. De är respektive lika med funktionerna
Detta är känt som det första derivatet. Vanligtvis betecknas det första derivatet av funktion f med f (1). Nu med användning av denna notation är det möjligt att definiera högre ordning derivat.
är den andra ordningens riktningsderivat, och betecknar det n: e derivatet med f (n) för varje n
definierar det n: e derivatet.
Vad är differentiering?
Differentiering är processen att hitta derivat av en differentierbar funktion. D-operatör betecknad med D representerar differentiering i vissa sammanhang. Om x är den oberoende variabeln, då D ≡ d / dx. D-operatören är en linjär operatör, dvs för alla två differentierbara funktioner f och g och konstant c, efter följande egenskaper.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Med D-operatören kan de andra reglerna som är associerade med differentiering uttryckas enligt följande. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 och D (dimma) = (D (f) og) D (g).
Till exempel, när F (x) = x 2 sin x differentieras i förhållande till x med de angivna reglerna, blir svaret 2 x sin x + x 2 cos x.
Vad är skillnaden mellan differentiering och derivat?
• Derivat avser en förändringshastighet för en funktion
• Differentiering är processen att hitta derivat av en funktion.
