Derivat vs Differential
I differentiell beräkning är derivat och differentiering av en funktion nära besläktade men har mycket olika betydelser och används för att representera två viktiga matematiska objekt relaterade till differentierbara funktioner.
Vad är derivat?
Derivat av en funktion mäter den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras när dess ingång ändras. I flervariabla funktioner beror ändringen av funktionsvärdet på riktningen för ändringen av värdena för de oberoende variablerna. I sådana fall väljs därför en specifik riktning och funktionen differentieras i den specifika riktningen. Det här derivatet kallas riktningsderivatet. Partiella derivat är en speciell typ av riktade derivat.
Derivat för en vektorvärderad funktion f kan definieras som gränsen
varhelst den existerar. Som nämnts tidigare ger detta oss ökningshastigheten för funktionen f längs vektorn u. I fallet med en enkelvärderad funktion minskar detta till den välkända definitionen av derivatet,
Till exempel
är det överallt differentierbart, och derivatet är lika med gränsen
som är lika med
. Derivaten av funktioner som
finns överallt. De är respektive lika med funktionerna
Detta är känt som det första derivatet. Vanligtvis betecknas det första derivatet av funktion f med f (1). Nu med användning av denna notation är det möjligt att definiera högre ordning derivat.
är den andra ordningens riktningsderivat, och betecknar det n: e derivatet med f (n) för varje n
definierar det n: e derivatet.
Vad är differentiell?
Differential för en funktion representerar förändringen i funktionen med avseende på förändringar i den oberoende variabeln eller variablerna. I det vanliga betecknings, för en given funktion f av ett enda variabeln x, är den totala differential av ordning 1 df ges av,
. Detta betyder att för en oändligt liten förändring i x (dvs dx) kommer det att finnas af (1) (x) dx förändring i f.
Med hjälp av gränser kan man sluta med denna definition enligt följande. Antag att ∆ x är förändringen i x vid en godtycklig punkt x och ∆ f är motsvarande förändring i funktionen f. Det kan visas att ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, där ϵ är felet. Nu är gränsen ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (med den tidigare angivna definitionen av derivat) och därmed ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Därför är det möjligt att dra slutsatsen att, ∆ x → 0 ϵ = 0. Nu betecknar ∆ x → 0 ∆ f som df och ∆ x → 0 ∆ x som dx definitionen av differentialen erhålls noggrant.
Till exempel differential av funktionen
är
När det gäller funktioner för två eller flera variabler definieras den totala skillnaden för en funktion som summan av differentierna i riktningarna för var och en av de oberoende variablerna. Matematiskt kan det anges som
Vad är skillnaden mellan derivat och differentiell?
• Derivat avser en förändringshastighet för en funktion medan skillnaden avser den faktiska förändringen av funktionen, när den oberoende variabeln utsätts för förändring.
• Derivatet ges av
men differensen ges av
