Skillnadsekvation mot differentiell ekvation
Ett naturfenomen kan beskrivas matematiskt genom funktioner av ett antal oberoende variabler och parametrar. Speciellt när de uttrycks av en funktion av rumslig position och tid resulterar det i ekvationer. Funktionen kan ändras med förändringen i de oberoende variablerna eller parametrarna. En oändlig förändring som händer i funktionen när en av dess variabler ändras kallas derivatet för den funktionen.
En differentialekvation är alla ekvationer som innehåller derivat av en funktion såväl som själva funktionen. En enkel differentiell ekvation är Newtons andra rörelselag. Om ett objekt med massa m rör sig med acceleration 'a' och påverkas med kraft F, säger Newtons andra lag att F = ma. Även här varierar 'a' med tiden, vi kan skriva om 'a' som; a = dv / dt; v är hastighet. Hastighet är funktion av rum och tid, det vill säga v = ds / dt; därför 'a' = d 2 s / dt 2.
Med tanke på dessa kan vi skriva om Newtons andra lag som en differentiell ekvation;
'F' som en funktion av v och t - F (v, t) = mdv / dt, eller
'F' som en funktion av s och t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Det finns två typer av differentialekvationer; vanlig differentialekvation, förkortad med ODE eller partiell differentialekvation, förkortad med PDE. Vanlig differenti ekvation kommer att ha vanliga derivat (derivat av endast en variabel) i sig. Partiell differentialekvation kommer att ha differentiella derivat (derivat av mer än en variabel) i sig.
t.ex. F = md 2 s / dt 2 är en ODE, medan α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt är en PDE, den har derivat av t och x.
Skillnadsekvationen är densamma som differentialekvationen men vi tittar på den i olika sammanhang. I differentiella ekvationer betraktas den oberoende variabeln såsom tid i sammanhanget med kontinuerligt tidssystem. I diskret tidssystem kallar vi funktionen som skillnadsekvation.
Skillnadsekvation är en funktion av skillnader. Skillnaderna i de oberoende variablerna är tre typer; nummerföljd, diskret dynamiskt system och itererad funktion.
I nummerföljd genereras ändringen rekursivt med en regel för att relatera varje nummer i sekvensen till tidigare nummer i sekvensen.
Skillnadsekvationen i ett diskret dynamiskt system tar viss diskret insignal och producerar utsignal.
Skillnadsekvation är en itererad karta för itererad funktion. Exempelvis y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))), … är sekvensen för en itererad funktion. F (y 0) är den första iteraten av y 0. Den k-iterationen kommer att betecknas med f k (y 0).
