Diskret funktion vs kontinuerlig funktion
Funktioner är en av de viktigaste klasserna av matematiska objekt, som används i stor utsträckning i nästan alla delområden i matematik. Som namnen antyder är både diskreta funktioner och kontinuerliga funktioner två speciella typer av funktioner.
En funktion är en relation mellan två uppsättningar definierade på ett sådant sätt att för varje element i den första uppsättningen är det värde som motsvarar det i den andra uppsättningen unikt. Låt f vara en funktion definierad från uppsättning A till uppsättning B. För varje x ϵ A anger symbolen f (x) det unika värdet i uppsättningen B som motsvarar x. Det kallas bilden av x under f. Därför är en relation f från A till B en funktion, om och endast om för, varje xϵ A och y ϵ A; om x = y är f (x) = f (y). Uppsättningen A kallas för domänen för funktionen f och det är den uppsättning där funktionen definieras.
Tänk till exempel på förhållandet f från R till R definierat av f (x) = x + 2 för varje xϵ A. Detta är en funktion vars domän är R, som för varje reellt tal x och y, x = y innebär f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Men förhållandet g från N till N definierat av g (x) = a, där 'a' är en primfaktor för x är inte en funktion som g (6) = 3, liksom g (6) = 2.
Vad är en diskret funktion?
En diskret funktion är en funktion vars domän är som mest räknas. Enkelt betyder det att det är möjligt att skapa en lista som innehåller alla element i domänen.
Varje begränsad uppsättning är högst räknas. Uppsättningen av naturliga tal och uppsättningen av rationella tal är exempel på högst oändliga uppsättningar. Uppsättningen av verkliga tal och uppsättningen irrationella tal är högst räknade. Båda uppsättningarna är oräkneliga. Det betyder att det är omöjligt att skapa en lista som innehåller alla elementen i dessa uppsättningar.
En av de vanligaste diskreta funktionerna är faktorfunktionen. f: NU {0} → N rekursivt definierad av f (n) = nf (n-1) för varje n ≥ 1 och f (0) = 1 kallas faktorfunktionen. Observera att dess domän NU {0} är högst räknas.
Vad är en kontinuerlig funktion?
Låt f vara en funktion så att för varje k i domänen f, f (x) → f (k) som x → k. Då är f en kontinuerlig funktion. Detta innebär att det är möjligt att göra f (x) godtyckligt nära f (k) genom att göra x tillräckligt nära k för varje k i domänen för f.
Betrakta funktionen f (x) = x + 2 på R. Det kan ses att som x → k, x + 2 → k + 2 som är f (x) → f (k). Därför är f en kontinuerlig funktion. Betrakta nu g på positiva reella tal g (x) = 1 om x> 0 och g (x) = 0 om x = 0. Då är denna funktion inte en kontinuerlig funktion eftersom gränsen för g (x) inte finns (och därför är det inte lika med g (0)) som x → 0.
Vad är skillnaden mellan diskret och kontinuerlig funktion?
• En diskret funktion är en funktion vars domän är högst räknas men det behöver inte vara fallet i kontinuerliga funktioner.
• Alla kontinuerliga funktioner ƒ har egenskapen att ƒ (x) → ƒ (k) som x → k för varje x och för varje k i domänen ƒ, men det är inte fallet i vissa diskreta funktioner.
