Parallelogram vs fyrkant
Fyrkantiga och parallellogram är polygoner som finns i euklidisk geometri. Parallelogram är ett speciellt fall av fyrsidan. Fyrkantiga kan vara antingen plana (2D) eller tredimensionella medan parallellogram alltid är plana.
Fyrsidig
Fyrkant är en polygon med fyra sidor. Den har fyra hörnpunkter och summan av de inre vinklarna är 3600 (2π rad). Fyrkantiga sidor klassificeras i självkorsande och enkla fyrkantiga kategorier. De självkorsande fyrsidorna har två eller flera sidor som korsar varandra och mindre geometriska figurer (som trianglar bildas inuti fyrsidan).
De enkla fyrkantarna är också uppdelade i konvexa och konkava fyrkantiga delar. Konkava fyrkantiga sidor har intilliggande sidor som bildar reflexvinklar inuti figuren. De enkla fyrkanterna som inte har reflexvinklar internt är konvexa fyrkanter. De konvexa fyrkantarna kan alltid ha tessellationer.
En stor del av geometrin hos fyrsidorna vid de initiala nivåerna gäller de konvexa fyrsidorna. Vissa fyrhjulingar är mycket bekanta för oss från grundskolornas dagar. Nedan följer ett diagram som visar olika konvexa fyrkantiga sidor.
Parallellogram
Parallelogram kan definieras som den geometriska figuren med fyra sidor, med motsatta sidor parallella med varandra. Mer exakt är det en fyrkant med två par parallella sidor. Denna parallella natur ger parallellogramen många geometriska egenskaper.
En fyrkant är ett parallellogram om följande geometriska egenskaper hittas.
• Två par motstående sidor är lika långa. (AB = DC, AD = BC)
• Två par motsatta vinklar är lika stora. (
)
• Om intilliggande vinklar är kompletterande
• Ett par sidor, som är motsatta varandra, är parallella och lika långa. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonalerna halverar varandra (AO = OC, BO = OD)
• Varje diagonal delar fyrsidan i två kongruenta trianglar. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Vidare är summan av sidornas kvadrater lika med summan av kvadraten av diagonalerna. Detta kallas ibland parallellogramlagen och har omfattande tillämpningar inom fysik och teknik. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Var och en av ovanstående egenskaper kan användas som egenskaper, när det väl har konstaterats att fyrsidan är ett parallellogram.
Arealet av parallellogrammet kan beräknas av produkten av längden på en sida och höjden till motsatt sida. Därför kan arean av parallellogrammet anges som
Areal för parallellogram = bas × höjd = AB × h
Området för parallellogrammet är oberoende av formen på det enskilda parallellogrammet. Det beror bara på baslängden och den vinkelräta höjden.
Om sidorna av ett parallellogram kan representeras av två vektorer kan arean erhållas med storleken på vektorprodukten (tvärprodukten) för de två intilliggande vektorerna.
Om sidorna AB och AD representeras av vektorerna (
) respektive (
) ges parallellogramområdet genom
där α är vinkeln mellan
och
Nedan följer några avancerade egenskaper hos parallellogrammet;
• Arean för ett parallellogram är dubbelt så stor som en triangel som skapats av någon av dess diagonaler.
• Området för parallellogrammet delas i hälften av vilken linje som helst som passerar mittpunkten.
• Varje icke-degenererad affinetransformation tar ett parallellogram till ett annat parallellogram
• Ett parallellogram har rotationssymmetri av ordning 2
• Summan av avstånden från varje inre punkt i ett parallellogram till sidorna är oberoende av platsen för punkten
Vad är skillnaden mellan parallellogram och fyrsidigt?
• Fyrkantiga sidor är polygoner med fyra sidor (kallas ibland tetragoner) medan parallellogram är en speciell typ av fyrkant.
• Fyrkantiga sidor kan ha sina sidor i olika plan (i 3d-utrymme) medan alla sidor av parallellogrammet ligger på samma plan (plan / 2-dimensionell).
• Invändiga vinklar på fyrsidan kan ha vilket värde som helst (inklusive reflexvinklar) så att de uppgår till 3600. Parallelogram kan bara ha trubbiga vinklar som den maximala vinkeltypen.
• Fyrsidans fyra sidor kan ha olika längder medan parallellogramets motsatta sidor alltid är parallella med varandra och lika långa.
• Alla diagonaler delar parallellogrammet i två kongruenta trianglar, medan trianglarna som bildas av diagonalen i en allmän fyrkant är inte nödvändigtvis kongruenta.
