Parallelogram vs rektangel
Parallelogram och rektangel är fyrkantiga. Människans geometri var känd för människor i tusentals år. Ämnet behandlas uttryckligen i boken "Elements" skriven av den grekiska matematikern Euclid.
Parallellogram
Parallelogram kan definieras som den geometriska figuren med fyra sidor, med motsatta sidor parallella med varandra. Mer exakt är det en fyrkant med två par parallella sidor. Denna parallella natur ger parallellogramen många geometriska egenskaper.
En fyrkant är ett parallellogram om följande geometriska egenskaper hittas.
• Två par motstående sidor är lika långa. (AB = DC, AD = BC)
• Två par motsatta vinklar är lika stora. (
)
• Om intilliggande vinklar är kompletterande
• Ett par sidor, som är motsatta varandra, är parallella och lika långa. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonalerna halverar varandra (AO = OC, BO = OD)
• Varje diagonal delar fyrsidan i två kongruenta trianglar. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Vidare är summan av sidornas kvadrater lika med summan av kvadraten av diagonalerna. Detta kallas ibland parallellogramlagen och har omfattande tillämpningar inom fysik och teknik. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Var och en av ovanstående egenskaper kan användas som egenskaper, när det väl har konstaterats att fyrsidan är ett parallellogram.
Arealet av parallellogrammet kan beräknas av produkten av längden på en sida och höjden till motsatt sida. Därför kan arean av parallellogrammet anges som
Areal för parallellogram = bas × höjd = AB × h
Området för parallellogrammet är oberoende av formen på det enskilda parallellogrammet. Det beror bara på baslängden och den vinkelräta höjden.
Om sidorna av ett parallellogram kan representeras av två vektorer kan arean erhållas med storleken på vektorprodukten (tvärprodukten) för de två intilliggande vektorerna.
Om sidorna AB och AD representeras av vektorerna (
) respektive (
) ges parallellogramområdet genom
där α är vinkeln mellan
och
Nedan följer några avancerade egenskaper hos parallellogrammet;
• Arean för ett parallellogram är dubbelt så stor som en triangel som skapats av någon av dess diagonaler.
• Området för parallellogrammet delas i hälften av vilken linje som helst som passerar mittpunkten.
• Varje icke-degenererad affinetransformation tar ett parallellogram till ett annat parallellogram
• Ett parallellogram har rotationssymmetri av ordning 2
• Summan av avstånden från varje inre punkt i ett parallellogram till sidorna är oberoende av platsen för punkten
Rektangel
En fyrkant med fyra raka vinklar är känd som en rektangel. Det är ett speciellt fall av parallellogrammet där vinklarna mellan två angränsande sidor är raka vinklar.
Förutom alla egenskaperna för ett parallellogram kan ytterligare egenskaper kännas igen när man beaktar rektangelns geometri.
• Varje vinkel i hörnen är en rät vinkel.
• Diagonalerna är lika långa och de halverar varandra. Därför är de delade sektionerna också lika långa.
• Längden på diagonalerna kan beräknas med hjälp av Pythagoras sats:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Areaformeln minskar till produkten av längd och bredd.
Area av rektangel = längd × bredd
• Många symmetriska egenskaper finns på en rektangel, t.ex.
- En rektangel är cyklisk, där alla hörn kan placeras på omkretsen av en cirkel.
- Det är likvinklat, där alla vinklar är lika.
- Det är isogonalt, där alla hörn ligger inom samma symmetribana.
- Den har både reflektionssymmetri och rotationssymmetri.
Vad är skillnaden mellan parallellogram och rektangel?
• Parallelogram och rektangel är fyrkantiga sidor. Rektangel är ett speciellt fall av parallellogram.
• Ytan på vilken som helst kan beräknas med formeln bas × höjd.
• Med tanke på diagonalerna;
- Parallellogrammets diagonaler halverar varandra och halverar parallellogrammet för att bilda två kongruenta trianglar.
- Rektangelns diagonaler är lika långa och halverar varandra; delade sektioner är lika långa. Diagonalerna halverar rektangeln i två kongruenta högra trianglar.
• Med tanke på de inre vinklarna;
- Motsvarande inre vinklar i parallellogrammet är lika stora. Två intilliggande inre vinklar är kompletterande
- Alla fyra inre vinklarna i rektangeln är raka vinklar.
• Med tanke på sidorna;
- I ett parallellogram är summan av sidornas kvadrater lika med summan av kvadraten i diagonalen (Parallelogramlag)
- I rektanglar är summan av kvadraten på de två intilliggande sidorna lika med kvadraten på diagonalen i ändarna. (Pythagoras` regel)
