Definitiva vs obestämda integraler
Kalkyl är en viktig gren av matematiken och differentiering spelar en avgörande roll i kalkylen. Den inversa processen för differentiering är känd som integration, och den inversa är känd som integralen, eller helt enkelt uttryckt, den inversa av differentiering ger en integral. Baserat på de resultat de producerar är delarna integrerade i två klasser; bestämda och obestämda integraler.
Mer om Indefinite Integrals
Obestämd integral är mer av en allmän form av integration, och den kan tolkas som anti-derivat av den betraktade funktionen. Antag att differentiering av F ger f, och integrationen av f ger integralen. Det skrivs ofta som F (x) = ∫ƒ (x) dx eller F = ∫ƒ dx där både F och ƒ är funktioner för x, och F är differentierbar. I ovanstående form kallas det en Reimann-integral och den resulterande funktionen åtföljer en godtycklig konstant. En obestämd integral producerar ofta en familj av funktioner; därför är integralen obestämd.
Integraler och integrationsprocess är kärnan i att lösa differentiella ekvationer. Men till skillnad från differentieringen följer inte integrationen alltid en tydlig och standardrutin; ibland kan lösningen inte uttryckas uttryckligen i termer av elementär funktion. I så fall ges den analytiska lösningen ofta i form av en obestämd integral.
Mer om Definite Integrals
Definitiva integraler är de mycket värderade motsvarigheterna till obestämda integraler där integrationsprocessen faktiskt ger ett begränsat antal. Den kan definieras grafiskt som det område som avgränsas av funktionskurvan ƒ inom ett givet intervall. Närhelst integrationen utförs inom ett givet intervall för den oberoende variabeln producerar integrationen ett bestämt värde som ofta skrivs som en ∫ b ƒ (x) dx eller en ∫ b ƒdx.
De obestämda integralerna och bestämda integralerna är sammankopplade med hjälp av den första grundläggande satsen för kalkylen, och det gör att den bestämda integralen kan beräknas med de obestämda integralerna. Satsen anger a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) där både F och ƒ är funktioner för x, och F är differentierbar i intervallet (a, b). Med tanke på intervallet är a och b kända som den undre gränsen respektive den övre gränsen.
Istället för att bara sluta med verkliga funktioner kan integrationen utvidgas till komplexa funktioner och dessa integraler kallas konturintegraler, där ƒ är en funktion av den komplexa variabeln.
Vad är skillnaden mellan bestämda och obestämda integraler?
Obestämda integraler representerar anti-derivatet av en funktion och ofta en familj av funktioner snarare än en bestämd lösning. I bestämda integraler ger integrationen ett begränsat antal.
Obestämda integraler associerar en godtycklig variabel (därav familjen funktioner) och bestämda integraler har inte en godtycklig konstant utan en övre gräns och en nedre gräns för integration.
Obestämd integral ger vanligtvis en allmän lösning på differentialekvationen.
