Linjära kontra icke-linjära differentialekvationer
En ekvation som innehåller minst en differentiell koefficient eller derivat av en okänd variabel är känd som en differentialekvation. En differentiell ekvation kan vara antingen linjär eller icke-linjär. Omfattningen av denna artikel är att förklara vad som är linjär differentialekvation, vad som är icke-linjär differenti ekvation, och vad är skillnaden mellan linjära och icke-linjära differentialekvationer.
Sedan utvecklingen av kalkyl på 1700-talet av matematiker som Newton och Leibnitz har differentiallekvationen spelat en viktig roll i berättelsen om matematik. Differentiella ekvationer är av stor betydelse i matematik på grund av deras användningsområde. Differentiella ekvationer är kärnan i varje modell som vi utvecklar för att förklara varje scenario eller händelse i världen, oavsett om det handlar om fysik, teknik, kemi, statistik, ekonomisk analys eller biologi (listan är oändlig). Till och med att kalkylen blev en etablerad teori, var faktiskt korrekta matematiska verktyg inte tillgängliga för att analysera de intressanta problemen i naturen.
Resulterande ekvationer från en specifik tillämpning av kalkyl kan vara mycket komplexa och ibland inte lösbara. Det finns dock sådana som vi kan lösa, men kan se lika ut och förvirra. Därför kategoriseras olika ekvationer för enklare identifiering efter deras matematiska beteende. Linjär och icke-linjär är en sådan kategorisering. Det är viktigt att identifiera skillnaden mellan linjära och icke-linjära differenti ekvationer.
Vad är en linjär differentialekvation?
Antag att f: X → Y och f (x) = y, en differentialekvation utan icke-linjära termer för den okända funktionen y och dess derivat är känd som en linjär differentialekvation.
Det ställer villkoret att y inte kan ha högre indextermer som y 2, y 3, … och multiplar av derivat som
Det kan inte heller innehålla icke linjära termer som Sin y, e y ^ -2 eller ln y. Det tar formen,
där y och g är funktioner för x. Ekvationen är en differentiell ekvation av ordning n, vilket är indexet för derivat av högsta ordning.
I en linjär differentialekvation är differentialoperatören en linjär operator och lösningarna bildar ett vektorutrymme. Som ett resultat av den linjära naturen hos lösningsuppsättningen är en linjär kombination av lösningarna också en lösning på differentialekvationen. Det vill säga, om y 1 och y 2 är lösningar av differentialekvationen, sedan C 1 y 1 + C 2 y 2 är också en lösning.
Ekvationens linjäritet är bara en parameter för klassificeringen, och den kan vidare kategoriseras i homogena eller icke-homogena och vanliga eller partiella differentialekvationer. Om funktionen är g = 0 är ekvationen en linjär homogen differentialekvation. Om f är en funktion av två eller flera oberoende variabler (f: X, T → Y) och f (x, t) = y, är ekvationen en linjär partiell differentialekvation.
Lösningsmetoden för differentialekvationen är beroende av typen och koefficienterna för differentialekvationen. Det enklaste fallet uppstår när koefficienterna är konstanta. Klassiskt exempel för detta fall är Newtons andra rörelselag och dess olika tillämpningar. Newtons andra lag producerar en andra ordningens linjära differentialekvation med konstanta koefficienter.
Vad är en icke-linjär differentialekvation?
Ekvationer som innehåller icke-linjära termer kallas icke-linjära differentialekvationer.
Alla ovan är icke-linjära differentialekvationer. Icke-linjära differentialekvationer är svåra att lösa, därför krävs en noggrann undersökning för att erhålla en korrekt lösning. Vid partiella differentialekvationer har de flesta ekvationerna ingen allmän lösning. Därför måste varje ekvation behandlas oberoende.
Navier-Stokes-ekvationen och Eulers ekvation i fluiddynamik, Einsteins fältekvationer av allmän relativitet är välkända ickelinjära partiella differentialekvationer. Ibland kan tillämpningen av Lagrange-ekvationen på ett variabelt system resultera i ett system med olinjära partiella differentialekvationer.
Vad är skillnaden mellan linjära och icke-linjära differentialekvationer?
• En differentialekvation, som endast har de linjära termerna för den okända eller beroende variabeln och dess derivat, är känd som en linjär differentialekvation. Den har ingen term med den beroende variabeln för index högre än 1 och innehåller ingen multipel av dess derivat. Det kan inte ha olinjära funktioner som trigonometriska funktioner, exponentiell funktion och logaritmiska funktioner med avseende på den beroende variabeln. Alla differentiella ekvationer som innehåller ovan nämnda termer är en icke-linjär differentiell ekvation.
• Lösningar av linjära differentialekvationer skapar vektorutrymme och differentialoperatören är också en linjär operator i vektorutrymmet.
• Lösningar av linjära differentialekvationer är relativt enklare och allmänna lösningar finns. För icke-linjära ekvationer finns i de flesta fall inte den allmänna lösningen och lösningen kan vara problemspecifik. Detta gör lösningen mycket svårare än de linjära ekvationerna.
