Ömsesidigt exklusiva vs oberoende händelser
Människor förväxlar ofta begreppet ömsesidigt exklusiva händelser med oberoende händelser. Faktum är att det här är två olika saker.
Låt A och B vara två händelser associerade med ett slumpmässigt experiment E. P (A) kallas "Sannolikheten för A". På samma sätt kan vi definiera sannolikheten för B som P (B), sannolikheten för A eller B som P (A∪B) och sannolikheten för A och B som P (A∩B). Sedan är P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Men två händelser sägs vara ömsesidigt uteslutande om förekomsten av en händelse inte påverkar den andra. Med andra ord kan de inte förekomma samtidigt. Därför, om två händelser A och B utesluter varandra, är A thenB = ∅ och följaktligen innebär det P (A∪B) = P (A) + P (B).
Låt A och B vara två händelser i ett samplingsutrymme S. Villkorlig sannolikhet för A, med tanke på att B har inträffat, betecknas med P (A | B) och definieras som; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), förutsatt att P (B)> 0. (annars är det inte definierat.)
En händelse A sägs vara oberoende av en händelse B, om sannolikheten att A inträffar inte påverkas av om B har inträffat eller inte. Med andra ord har resultatet av händelse B ingen effekt på resultatet av händelsen A. Därför är P (A | B) = P (A). På samma sätt är B oberoende av A om P (B) = P (B | A). Därför kan vi dra slutsatsen att om A och B är oberoende händelser, så är P (A∩B) = P (A). P (B)
Antag att en numrerad kub rullas och ett rättvist mynt vänds. Låt A vara den händelse som att få ett huvud och B vara den händelse som rullar ett jämnt nummer. Då kan vi dra slutsatsen att händelserna A och B är oberoende, eftersom det ena resultatet inte påverkar resultatet av det andra. Därför är P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Eftersom P (A∩B) ≠ 0, kan A och B inte utesluta varandra.
Antag att en urn innehåller 7 vita kulor och 8 svarta kulor. Definiera händelse A som att rita en vit marmor och händelse B som att rita en svart marmor. Om vi antar att varje marmor kommer att bytas ut efter att ha noterat färgen, kommer P (A) och P (B) alltid att vara desamma, oavsett hur många gånger vi drar från urnen. Att byta ut kulorna betyder att sannolikheten inte ändras från oavgjort till oavgjort, oavsett vilken färg vi valde vid den senaste oavgjort. Därför är händelse A och B oberoende.
Men om kulor drogs utan ersättning, ändras allt. Enligt detta antagande är händelserna A och B inte oberoende. Att rita en vit marmor första gången ändrar sannolikheten för att rita en svart marmor på den andra rita och så vidare. Med andra ord har varje dragning en effekt på nästa dragning, så individuella dragningar är inte oberoende.
Skillnaden mellan ömsesidigt exklusiva och oberoende händelser
- Ömsesidig exklusivitet för händelser innebär att det inte finns någon överlappning mellan uppsättningarna A och B. Oberoende av händelser betyder att händelse av A inte påverkar B.
- Om två händelser A och B utesluter varandra är P (A∩B) = 0.
- Om två händelser A och B är oberoende är P (A∩B) = P (A). P (B)
