Slumpmässiga variabler mot sannolikhetsfördelning
Statistiska experiment är slumpmässiga experiment som kan upprepas på obestämd tid med en känd uppsättning resultat. Både slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelningar är associerade med sådana experiment. För varje slumpmässig variabel finns en tillhörande sannolikhetsfördelning definierad av en funktion som kallas kumulativ fördelningsfunktion.
Vad är en slumpmässig variabel?
En slumpmässig variabel är en funktion som tilldelar numeriska värden till resultaten av ett statistiskt experiment. Med andra ord är det en funktion som definieras från provutrymmet för ett statistiskt experiment till uppsättningen av reella tal.
Tänk till exempel på ett slumpmässigt experiment med att vända ett mynt två gånger. De möjliga resultaten är HH, HT, TH och TT (H-huvuden, T-berättelser). Låt variabeln X vara antalet huvuden som observerats i experimentet. Då kan X ta värdena 0, 1 eller 2, och det är en slumpmässig variabel. Här kommer den slumpmässiga variabeln X att mappa uppsättningen S = {HH, HT, TH, TT} (provutrymmet) till uppsättningen {0, 1, 2} på ett sådant sätt att HH mappas till 2, HT och TH mappas till 1 och TT mappas till 0. I funktionsnotation kan detta skrivas som, X: S → R där X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 och X (TT) = 0.
Det finns två typer av slumpmässiga variabler: diskreta och kontinuerliga, följaktligen är antalet möjliga värden som en slumpmässig variabel kan anta högst räknas eller inte. I det föregående exemplet är den slumpmässiga variabeln X en diskret slumpmässig variabel eftersom {0, 1, 2} är en ändlig uppsättning. Tänk nu på det statistiska experimentet med att hitta elevernas vikter i en klass. Låt Y vara den slumpmässiga variabeln som definieras som vikten för en elev. Y kan ta vilket verkligt värde som helst inom ett visst intervall. Y är därför en kontinuerlig slumpmässig variabel.
Vad är en sannolikhetsfördelning?
Sannolikhetsfördelning är en funktion som beskriver sannolikheten för att en slumpmässig variabel tar vissa värden.
En funktion som kallas kumulativ fördelningsfunktion (F) kan definieras från uppsättningen reella tal till uppsättningen av reella tal som F (x) = P (X ≤ x) (sannolikheten för att X är mindre än eller lika med x) för varje möjligt resultat x. Nu kan den kumulativa fördelningsfunktionen för X i det första exemplet skrivas som F (a) = 0, om a <0; F (a) = 0,25, om 0≤a <1; F (a) = 0,75, om 1≤a <2 och F (a) = 1, om a≥2.
Vid diskreta slumpmässiga variabler kan en funktion definieras från uppsättningen möjliga resultat till uppsättningen av reella tal på ett sådant sätt att ƒ (x) = P (X = x) (sannolikheten för att X är lika med x) för varje möjligt resultat x. Denna speciella funktion ƒ kallas sannolikhetsmassafunktionen för den slumpmässiga variabeln X. Nu kan sannolikhetsmassfunktionen för X i det första specifika exemplet skrivas som ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 och ƒ (x) = 0 annars. Således kommer sannolikhetsmassafunktion tillsammans med den kumulativa fördelningsfunktionen att beskriva sannolikhetsfördelningen för X i det första exemplet.
När det gäller kontinuerliga slumpmässiga variabler kan en funktion som kallas sannolikhetsdensitetsfunktionen (ƒ) definieras som ƒ (x) = dF (x) / dx för varje x där F är den kumulativa fördelningsfunktionen för den kontinuerliga slumpmässiga variabeln. Det är lätt att se att denna funktion uppfyller ∫ƒ (x) dx = 1. Sannolikhetsdensitetsfunktionen tillsammans med den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig slumpmässig variabel. Exempelvis beskrivs normalfördelningen (som är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning) med användning av sannolikhetsdensitetsfunktionen ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Vad är skillnaden mellan slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelning?
• Slumpmässig variabel är en funktion som associerar värden på ett provutrymme till ett reellt tal.
• Sannolikhetsfördelning är en funktion som associerar värden som en slumpmässig variabel kan ta till respektive sannolikhet för händelse.
