Verkliga siffror vs imaginära siffror
Siffror är matematiska objekt som används för att räkna och mäta. Definitionen av den har förändrats genom åren med tillägg av noll, negativa tal, rationella tal, irrationella tal och imaginära tal. Även om den abstrakta grunden för nummersystem avser algebraiska strukturer som grupper, ringar och fält, presenteras endast en intuitiv idé här.
Vad är ett verkligt tal?
Informellt definierande är ett reellt tal ett tal vars kvadrat inte är negativt. I matematisk notation betecknar vi uppsättningen av reella tal med symbolen R. Därför för alla x, om x ϵ R då x 2 ≥ 0. På ett mer rigoröst sätt kan introducera uppsättningen av reella tal som det unika, fullständiga helt ordnade fältet med binär operation + och. tillsammans med orderrelationen <. Denna ordningsrelation följer trikotomilagen, som säger att med tanke på två reella tal x och y, en och endast en av dessa 3 håller; x> y, x <y eller x = y.
Ett reellt tal kan vara antingen algebraiskt eller transcendentalt beroende på om det är en rot till en polynomekvation med heltalskoefficienter eller inte. Ett verkligt tal kan också vara antingen rationellt eller irrationellt beroende på om det kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal eller inte. Till exempel är 2,5 ett reellt tal, som är algebraiskt och rationellt, men ᴫ är irrationellt såväl som transcendentalt.
Uppsättningen med verkliga siffror är komplett. Det betyder att för varje icke-obetydlig delmängd av verkliga tal som är avgränsad ovan, har minst övre gräns, och från detta kan man dra slutsatsen att för varje icke-obetydlig undermängd av verkliga tal som är avgränsad nedan har den största nedre gränsen. Detta skiljer uppsättningen reella tal från uppsättningen rationella tal. Man kan argumentera för att uppsättningen av reella tal byggs genom att fylla luckorna i uppsättningen ofullständiga rationella tal, varvid luckorna är irrationella tal.
Vad är ett imaginärt nummer?
Ett imaginärt tal är ett tal vars kvadrat är negativt. Med andra ord är siffror som √ (-1), √ (-100) och √ (- e) imaginära tal. Alla de imaginära siffrorna kan skrivas i form ai där i är den "imaginära enheten" √ (-1) och a är ett reellt tal som inte är noll. (Observera att i 2 = -1). Även om dessa siffror verkar vara icke-verkliga och som namnet antyder finns inga, de används i många viktiga verkliga applikationer inom områden som luftfart, elektronik och teknik.
Vad är skillnaden mellan reella tal och imaginära tal?
• Kvadrat för ett reellt tal är icke-negativt, men kvadrat för ett imaginärt tal är negativt.
• Uppsättning av verkliga siffror bildar ett komplett totalt ordnat fält medan uppsättningen av imaginära tal varken är komplett eller ordnad.
