Associativ vs kommutativ
I våra dagliga liv måste vi använda siffror när vi behöver för att få ett mått på något. I livsmedelsbutiken, på bensinstationen och till och med i köket behöver vi lägga till, subtrahera och multiplicera två eller flera kvantiteter. Från vår praxis utför vi dessa beräkningar enkelt. Vi märker aldrig eller ifrågasätter varför vi utför dessa operationer på detta speciella sätt. Eller varför dessa beräkningar inte kan göras på ett annat sätt. Svaret är dolt i hur dessa operationer definieras i det matematiska fältet för algebra.
I algebra definieras en operation som omfattar två kvantiteter (såsom tillägg) som en binär operation. Mer exakt är det en operation mellan två element från en uppsättning och dessa element kallas "operand". Många operationer i matematik inklusive aritmetiska operationer som nämnts tidigare och de som påträffas i uppsättningsteorin, linjär algebra och matematisk logik kan definieras som binära operationer.
Det finns en uppsättning reglerande regler för en specifik binär operation. Associerande och kommutativa egenskaper är två grundläggande egenskaper för binära operationer.
Mer om kommutativ egendom
Antag att någon binär operation, betecknad med symbolen ⊗, utförs på elementen A och B. Om operandernas ordning inte påverkar resultatet av operationen, sägs operationen vara kommutativ. dvs om A ⊗ B = B ⊗ A är operationen kommutativ.
De aritmetiska operationernas tillägg och multiplikation är kommutativa. Ordningen på siffrorna som läggs samman eller multipliceras påverkar inte det slutliga svaret:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Men i fallet med uppdelning ger ändringen i ordningen den ömsesidiga av den andra, och i subtraktion ger ändringen den negativa av den andra. Därför, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 och 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 och 5 ÷ 4 = 1,25 [i detta fall A, B ≠ 1 och 0]
Faktum är att subtraktionen sägs vara antikommutativ; där A - B = - (B - A).
De logiska förbindelserna, konjunktionen, disjunktionen, implikationen och ekvivalensen är också kommutativa. Sanningsfunktioner är också kommutativa. Den fasta verksamhetsunionen och korsningen är kommutativa. Tillägg och den skalära produkten av vektorerna är också kommutativa.
Men vektorsubtraktion och vektorprodukt är inte kommutativ (vektorprodukt av två vektorer är antikommutativ). Matrixadditionen är kommutativ, men multiplikationen och subtraktionen är inte kommutativ. (Multiplikation av två matriser kan vara kommutativ i speciella fall, till exempel multiplicering av en matris med dess inversa eller identitetsmatris; men definitivt är matriser inte kommutativa om matriserna inte är av samma storlek)
Mer om Associativ egendom
En binär operation sägs vara associerande om ordningen på exekveringen inte påverkar resultatet när två eller flera förekomster av operatören är närvarande. Tänk på elementen A, B och C och den binära operationen ⊗. Operationen ⊗ sägs vara associerande om
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Från de grundläggande aritmetiska funktionerna är endast addition och multiplikation associerande.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Subtraktion och delning är inte associerande;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 och (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 och (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
De logiska anslutningsdisjunktionerna, konjunktionerna och ekvivalensen är associerande, liksom också den inställda operationsunionen och korsningen. Matrisen och vektortillsatsen är associerande. Den skalära produkten av vektorer är associativ, men vektorprodukten inte. Matrixmultiplikation är associerande endast under speciella omständigheter.
Vad är skillnaden mellan kommutativ och associerad egendom?
• Både associativ egendom och kommutativ egenskap är speciella egenskaper för binära operationer, och vissa uppfyller dem och andra inte.
• Dessa egenskaper kan ses i många former av algebraiska operationer och andra binära operationer i matematik, såsom skärningspunkten och unionen i uppsättningsteorin eller de logiska anslutningarna.
• Skillnaden mellan kommutativ och associerande är att kommutativ egenskap anger att elementens ordning inte ändrar slutresultatet medan associerande egenskap anger att ordningen i vilken operationen utförs inte påverkar det slutliga svaret.
