Hyperbola vs Ellipse
När en kon skärs i olika vinklar markeras olika kurvor av konens kant. Dessa kurvor kallas ofta koniska sektioner. Mer exakt är en konisk sektion en kurva som erhålls genom att korsa en höger cirkulär konisk yta med en plan yta. Vid olika skärningsvinklar ges olika koniska sektioner.
Både hyperbola och ellips är koniska sektioner, och deras skillnader jämförs lätt i detta sammanhang.
Mer om Ellipse
När skärningspunkten mellan konisk yta och plan yta ger en sluten kurva, är det känt som en ellips. Den har en excentricitet mellan noll och en (0
Linjesegmentet som passerar genom brännpunkterna är känt som huvudaxeln och axeln vinkelrätt mot huvudaxeln och passerar genom ellipsens centrum är känd som den mindre axeln. Diametrarna längs varje axel är kända som den tvärgående diametern respektive konjugatdiametern. Hälften av huvudaxeln är känd som halvhuvudaxeln, och hälften av mindre axeln är känd som den halvmindre axeln.
Varje punkt F 1 och F 2 är kända som härdar av ellipsen och längderna F 1 + PF 2 = 2a, där P är en godtycklig punkt på ellipsen. Excentricitet e definieras som förhållandet mellan avståndet från ett fokus till den godtyckliga punkten (PF 2) och det vinkelräta avståndet till den godtyckliga punkten från directrix (PD). Det är också lika med avståndet mellan de två fokuserna och halvhuvudaxeln: e = PF / PD = f / a
Den allmänna ekvationen för ellipsen, när halv-huvudaxeln och den halv-mindre axeln sammanfaller med de kartesiska axlarna, ges enligt följande.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Ellipsens geometri har många tillämpningar, särskilt inom fysik. Banorna på planeterna i solsystemet är elliptiska med solen som ett fokus. Reflektorerna för antenner och akustiska anordningar är gjorda i elliptisk form för att dra nytta av det faktum att alla utsläpp från ett fokus kommer att konvergera till det andra fokuset.
Mer om Hyperbola
Hyperbolen är också en konisk sektion, men den är öppen. Termen hyperbol hänvisas till de två frånkopplade kurvorna som visas i figuren. I stället för att stänga som en ellips fortsätter armarna eller grenarna av hyperbolen till oändligheten.
De punkter där de två grenarna har det kortaste avståndet mellan sig kallas topparna. Linjen som passerar genom hörnpunkterna betraktas som huvudaxeln eller den tvärgående axeln, och det är en av hyperbolens huvudaxlar. Parabelns två foci ligger också på huvudaxeln. Mittpunkten för linjen mellan de två hörnpunkterna är mitten, och längden på linjesegmentet är den halvhuvudaxeln. Den vinkelräta halvan av den halvhuvudaxeln är den andra huvudaxeln, och de två kurvorna för hyperbolen är symmetriska runt denna axel. Parabolens excentricitet är större än en; e> 1.
Om huvudaxlarna sammanfaller med de kartesiska axlarna är den allmänna ekvationen av hyperbolen av formen:
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, där a är halvhuvudaxeln och b är avståndet från centrum till antingen fokus.
Hyperbolerna med öppna ändar mot x-axeln är kända som öst-väst-hyperbolerna. Liknande hyperboler kan också erhållas på y-axeln. Dessa är kända som y-axelhyperbolerna. Ekvationen för sådana hyperboler har formen
y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Vad är skillnaden mellan Hyperbola och Ellipse?
• Både ellips och hyperbol är koniska sektioner, men ellipsen är en sluten kurva medan hyperbolen består av två öppna kurvor.
• Därför har ellipsen en ändlig omkrets, men hyperbolen har en oändlig längd.
• Båda är symmetriska runt sin huvud- och mindre axel, men positionen för directrix är olika i varje fall. I ellipsen ligger den utanför halvhuvudaxeln medan den i hyperbol ligger i halvhuvudaxeln.
• Excentriciteten hos de två koniska sektionerna är olika.
0
e Hyperbola > 0
• Den allmänna ekvationen för de två kurvorna ser likadan ut, men de är olika.
• Den vinkelräta halvan av huvudaxeln skär kurvan i ellipsen, men inte i hyperbolen.
(Bildkälla: Wikipedia)
