Sannolikhetsfördelningsfunktion mot sannolikhetsdensitetsfunktion
Sannolikheten är sannolikheten för att en händelse ska hända. Denna idé är mycket vanlig och används ofta i det dagliga livet när vi bedömer våra möjligheter, transaktioner och många andra saker. Att utvidga detta enkla koncept till en större uppsättning evenemang är lite mer utmanande. Vi kan till exempel inte lätt räkna ut chanserna att vinna ett lotteri, men det är bekvämt, ganska intuitivt, att säga att det är sannolikt att en av sex kommer att få nummer sex i en tärning.
När antalet händelser som kan äga rum blir större eller antalet enskilda möjligheter är stort misslyckas denna ganska enkla idé om sannolikhet. Därför måste det ges en gedigen matematisk definition innan man närmar sig problem med högre komplexitet.
När antalet händelser som kan äga rum i en enda situation är stort är det omöjligt att betrakta varje händelse individuellt som i exemplet med tärningarna. Följaktligen sammanfattas hela uppsättningen händelser genom att introducera begreppet den slumpmässiga variabeln. Det är en variabel som kan anta värdena för olika händelser i den specifika situationen (eller provutrymmet). Det ger en matematisk känsla för enkla händelser i situationen och ett matematiskt sätt att ta itu med händelsen. Mer exakt är en slumpmässig variabel en verklig värdefunktion över elementen i provutrymmet. De slumpmässiga variablerna kan antingen vara diskreta eller kontinuerliga. De betecknas vanligtvis med stora bokstäver i det engelska alfabetet.
Sannolikhetsfördelningsfunktionen (eller helt enkelt sannolikhetsfördelningen) är en funktion som tilldelar sannolikhetsvärdena för varje händelse; dvs det ger en relation till sannolikheterna för de värden som den slumpmässiga variabeln kan ta. Sannolikhetsfördelningsfunktionen definieras för diskreta slumpmässiga variabler.
Sannolikhetsdensitetsfunktionen är ekvivalenten för sannolikhetsfördelningsfunktionen för de kontinuerliga slumpmässiga variablerna, ger sannolikheten för att en viss slumpmässig variabel antar ett visst värde.
Om X är en diskret slumpmässig variabel, kallas funktionen som f (x) = P (X = x) för varje x inom intervallet X sannolikhetsfördelningsfunktionen. En funktion kan fungera som sannolikhetsfördelningsfunktion om och endast om funktionen uppfyller följande villkor.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
En funktion f (x) som definieras över uppsättningen reella tal kallas sannolikhetsdensitetsfunktionen för den kontinuerliga slumpmässiga variabeln X, om och endast om,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx för alla reella konstanter a och b.
Sannolikhetsdensitetsfunktionen bör också uppfylla följande villkor.
1. f (x) ≥ 0 för alla x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Både sannolikhetsfördelningsfunktionen och sannolikhetsdensitetsfunktionen används för att representera fördelningen av sannolikheter över samplingsutrymmet. Vanligtvis kallas dessa sannolikhetsfördelningar.
För statistisk modellering härleds standard sannolikhetsdensitetsfunktioner och sannolikhetsfördelningsfunktioner. Normalfördelningen och standardnormfördelningen är exempel på kontinuerliga sannolikhetsfördelningar. Binomial distribution och Poisson distribution är exempel på diskreta sannolikhetsfördelningar.
Vad är skillnaden mellan sannolikhetsfördelning och sannolikhetsdensitetsfunktion?
• Sannolikhetsfördelningsfunktion och sannolikhetsdensitetsfunktion är funktioner som definieras över provutrymmet, för att tilldela relevant sannolikhetsvärde till varje element.
• Sannolikhetsfördelningsfunktioner definieras för de diskreta slumpmässiga variablerna medan sannolikhetsdensitetsfunktioner definieras för de kontinuerliga slumpmässiga variablerna.
• Fördelning av sannolikhetsvärden (dvs. sannolikhetsfördelningar) beskrivs bäst av sannolikhetsdensitetsfunktionen och sannolikhetsfördelningsfunktionen.
• Sannolikhetsfördelningsfunktionen kan representeras som värden i en tabell, men det är inte möjligt för sannolikhetsdensitetsfunktionen eftersom variabeln är kontinuerlig.
• Vid plottning ger sannolikhetsfördelningsfunktionen en stapeldiagram medan sannolikhetsdensitetsfunktionen ger en kurva.
• Höjden / längden på staplarna för sannolikhetsfördelningsfunktionen måste läggas till 1 medan området under kurvan för sannolikhetsdensitetsfunktionen måste lägga till 1.
• I båda fallen måste alla funktionens värden vara icke-negativa.
