Fourier Series vs Fourier Transform
Fourier-serier sönderdelar en periodisk funktion i en summa av sinus och cosinus med olika frekvenser och amplituder. Fourier-serien är en gren av Fourier-analysen och den introducerades av Joseph Fourier. Fourier Transform är en matematisk operation som bryter in en signal till dess ingående frekvenser. Den ursprungliga signalen som ändrades över tiden kallas signalens tidsdomänrepresentation. Fouriertransformationen kallas frekvensdomänrepresentationen för en signal eftersom den beror på frekvensen. Både frekvensdomänrepresentationen för en signal och processen som används för att omvandla signalen till frekvensdomänen kallas Fourier-transform.
Vad är Fourier Series?
Som tidigare nämnts är Fourier-serien en utvidgning av en periodisk funktion med oändlig summa av sinus och cosinus. Fourier-serien utvecklades ursprungligen vid lösning av värmeekvationer men senare visade det sig att samma teknik kan användas för att lösa en stor uppsättning matematiska problem, speciellt de problem som involverar linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Nu har Fourier-serien applikationer inom ett stort antal områden, inklusive elektroteknik, vibrationsanalys, akustik, optik, signalbehandling, bildbehandling, kvantmekanik och ekonometri. Fourier-serier använder ortogonalitetsförhållandena mellan sinus- och cosinusfunktioner. Beräkningen och studien av Fourier-serier är känd som den harmoniska analysen och är mycket användbar när man arbetar med godtyckliga periodiska funktioner,eftersom det gör det möjligt att bryta in funktionen i enkla termer som kan användas för att få en lösning på det ursprungliga problemet.
Vad är Fourier-transform?
Fourier-transform definierar en relation mellan en signal i tidsdomänen och dess representation i frekvensdomänen. Fourier-transformen sönderdelar en funktion till oscillerande funktioner. Eftersom detta är en transformation kan den ursprungliga signalen erhållas genom att känna till transformationen, så att ingen information skapas eller förloras under processen. Studie av Fourier-serien ger faktiskt motivation för Fourier-transformationen. På grund av egenskaperna hos sinus och cosinus är det möjligt att återställa mängden av varje våg bidrar till summan med hjälp av en integral. Fouriertransform har några grundläggande egenskaper som linjäritet, translation, modulering, skalning, konjugering, dualitet och konvolution. Fouriertransformation används för att lösa differentialekvationer eftersom Fouriertransformationen är nära relaterad till Laplace-transformation. Fouriertransformation används också i kärnmagnetisk resonans (NMR) och i andra typer av spektroskopi.
Skillnad mellan Fourier Series och Fourier Transform
Fourier-serien är en expansion av periodisk signal som en linjär kombination av sinus och cosinus medan Fourier-transform är den process eller funktion som används för att konvertera signaler från tidsdomän till frekvensdomän. Fourier-serien definieras för periodiska signaler och Fourier-transformen kan appliceras på aperiodiska (inträffar utan periodicitetssignaler). Som nämnts ovan ger studien av Fourier-serien faktiskt motivation för Fourier-transformationen.
