Power Series vs Taylor Series
I matematik är en riktig sekvens en ordnad lista med riktiga siffror. Formellt är det en funktion från uppsättningen naturliga tal till uppsättningen av reella tal. Om en n är den n: e termen för en sekvens, betecknar vi sekvensen med eller med en 1, en 2, …, en n, … Tänk till exempel på sekvensen 1, ½, ⅓,…, 1 / n, …. Det kan betecknas som {1 / n}.
Det är möjligt att definiera en serie med hjälp av sekvenser. En serie är summan av termerna för en sekvens. Därför finns det för varje sekvens en associerad sekvens och vice versa. Om {a n} är den sekvens som övervägs kan serien som bildas av den sekvensen representeras som:
Således, i exemplet ovan, är den tillhörande serien 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Som namnen antyder är kraftserien en speciell typ av serie och används i stor utsträckning i numerisk analys och relaterad matematisk modellering. Taylor-serien är en speciell kraftserie som ger ett alternativ och lätt att manipulera sätt att representera välkända funktioner.
Vad är Power-serien?
En kraftserie är en serie av formen
som är konvergerande (möjligen) under något intervall centrerat vid c. Koefficienterna a n kan vara reella eller komplexa tal och är oberoende av x; dummy-variabeln.
Till exempel, genom att ställa in n = 1 för varje n, och c = 0, erhålls effektserien 1 + x + x 2 + ….. + x n +…. Det är lätt att observera att när x ε (-1,1) konvergerar denna effektserie till 1 / (1-x).
En effektserie konvergerar när x = c. De andra värdena för x för vilka effektserien konvergerar kommer alltid att ha formen av ett öppet intervall centrerat vid c. Det vill säga, det kommer att finnas ett värde 0≤ R ≤ ∞ så att för varje x som uppfyller | xc | ≤ R är effektserien konvergerande och för varje x som uppfyller | xc |> R är effektserien divergent. Detta värde R kallas konvergensradie för effektserien (R kan ta något verkligt värde eller positiv oändlighet).
Power-serien kan läggas till, subtraheras, multipliceras och delas med följande regler. Tänk på de två kraftserierna:
Sedan,
dvs liknande termer läggs till eller subtraheras tillsammans. Det är också möjligt att multiplicera och dela de två kraftserierna med hjälp av identiteten,
Vad är Taylor-serien?
Taylor-serien definieras för en funktion f (x) som är oändligt differentierbar i ett intervall. Antag att f (x) är differentierbart i ett intervall centrerat vid c. Sedan kraftserien som ges av
kallas Taylor-seriens expansion av funktionen f (x) om c. (Här betecknar f (n) (c) det n: e derivatet vid x = c). I numerisk analys används ett begränsat antal termer i denna oändliga expansion för att beräkna värden vid punkter där serien är konvergent till den ursprungliga funktionen.
En funktion f (x) sägs vara analytisk i intervallet (a, b), om för varje x ε (a, b) konverterar Taylor-serien av f (x) till funktionen f (x). Till exempel är 1 / (1-x) analytisk på (-1,1), eftersom dess Taylor-expansion 1 + x + x 2 + ….. + x n + … konvergerar till funktionen i det intervallet, och e x är analytisk överallt, eftersom Taylor-serien av e x konvergerar till e x för varje reellt tal x.
Vad är skillnaden mellan Power-serien och Taylor-serien?
1. Taylor-serien är en speciell klass av kraftserier som endast definieras för funktioner som är oändligt differentierbara i något öppet intervall.
2. Taylor-serien tar den speciella formen
medan en kraftserie kan vara vilken serie som helst i formen
