Logaritmisk vs Exponential | Exponentiell funktion vs logaritmisk funktion
Funktioner är en av de viktigaste klasserna av matematiska objekt, som används i stor utsträckning i nästan alla delområden av matematik. Som deras namn antyder är både exponentiell funktion och logaritmisk funktion två specialfunktioner.
En funktion är en relation mellan två uppsättningar definierade på ett sådant sätt att för varje element i den första uppsättningen, det värde som motsvarar det i den andra uppsättningen, är unikt. Låt ƒ vara en funktion definierad från uppsättning A till uppsättning B. För varje x ϵ A anger symbolen ƒ (x) det unika värdet i uppsättningen B som motsvarar x. Det kallas bilden av x under ƒ. Därför är en relation ƒ från A till B en funktion, om och bara om, för varje x ϵ A och y ϵ A, om x = y då ƒ (x) = ƒ (y). Uppsättningen A kallas för domänen för funktionen ƒ, och det är den uppsättning där funktionen definieras.
Vad är exponentiell funktion?
Den exponentiella funktionen är den funktion som ges av ƒ (x) = e x, där e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718 …) och är ett transcendentalt irrationellt tal. En av funktionens specialiteter är att funktionens derivat är lika med sig själv; dvs när y = e x, dy / dx = e x. Funktionen är också en överallt kontinuerligt ökande funktion med x-axeln som en asymptot. Därför är funktionen också en-mot-en. För varje x ϵ R har vi det e x > 0, och det kan visas att det är på R +. Den följer också den grundläggande identiteten e x + y = e x.e y och e 0= 1. Funktionen kan också representeras med hjälp av serieutvidgningen med 1 + x / 1! + X två / 2! + X tre / 3! + … + x n / n! + …
Vad är logaritmisk funktion?
Den logaritmiska funktionen är den inversa av den exponentiella funktionen. Eftersom den exponentiella funktionen är en-mot-en och på R + kan en funktion g definieras från uppsättningen positiva reella tal till uppsättningen av reella tal som ges av g (y) = x, om och endast om, y = e x. Denna funktion g kallas den logaritmiska funktionen eller oftast som den naturliga logaritmen. Det betecknas med g (x) = log e x = ln x. Eftersom det är det inversa av den exponentiella funktionen, om vi tar reflektionen av grafen för den exponentiella funktionen över linjen y = x, kommer vi att ha grafen för den logaritmiska funktionen. Således är funktionen asymptotisk mot y-axeln.
Logaritmisk funktion följer några grundläggande regler som ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y och ln xy = y ln x är de viktigaste. Detta är också en ökande funktion, och den är kontinuerlig överallt. Därför är det också en-mot-en. Det kan visas att det är på R.
Vad är skillnaden mellan exponentiell funktion och logaritmisk funktion?
• Den exponentiella funktionen ges av ƒ (x) = e x, medan den logaritmiska funktionen ges av g (x) = ln x, och former är den inversa av den senare.
• Den exponentiella funktionens domän är en uppsättning reella tal, men den logaritmiska funktionens domän är en uppsättning positiva reella tal.
• Räckvidden för den exponentiella funktionen är en uppsättning positiva reella tal, men räckvidden för den logaritmiska funktionen är en uppsättning av reella tal.
