Skillnaden Mellan Integration Och Summation

2024 Författare: Mildred Bawerman | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-16 08:42

Integration vs Summation

I matematiken ovanför gymnasiet finns integration och summering ofta i matematiska operationer. De används till synes som olika verktyg och i olika situationer, men de delar en mycket nära relation.

Mer om Summation

Summation är operationen för att lägga till en sekvens av siffror och operationen betecknas ofta med den grekiska bokstaven med versa sig. Den används för att förkorta summeringen och lika med summan / summan av sekvensen. De används ofta för att representera serien, som i huvudsak är oändliga sekvenser som sammanfattas. De kan också användas för att ange summan av vektorer, matriser eller polynom.

Sammanfattningen görs vanligtvis för en rad värden som kan representeras av en allmän term, till exempel en serie som har en gemensam term. Startpunkten och slutpunkten för summeringen är känd som summeringens nedre och övre gräns.

Till exempel är summan av sekvensen a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, …, a _n en ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n som lätt kan representeras med hjälp av summeringsnotationen som ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; jag kallas summeringsindex.

Många variationer används för summeringen baserat på applikationen. I vissa fall kan den övre och undre gränsen ges som ett intervall eller ett intervall, såsom ∑ _1≤i≤100 a _i och ∑ _{i∈ [1100]} a _i. Eller så kan den ges som en uppsättning siffror som ∑ _i∈P a _i, där P är en definierad uppsättning.

I vissa fall kan två eller flera sigma-tecken användas, men de kan generaliseras enligt följande; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Sammanfattningen följer också många algebraiska regler. Eftersom den inbäddade operationen är tillägget kan många av de vanliga reglerna för algebra tillämpas på själva summorna och för de enskilda termer som avbildas av summeringen.

Mer om integration

Integrationen definieras som den omvända processen för differentiering. Men i sin geometriska vy kan det också betraktas som det område som omges av funktionskurvan och axeln. Beräkning av området ger därför värdet på en bestämd integral som visas i diagrammet.

Bildkälla:

Värdet på den bestämda integralen är faktiskt summan av de små remsorna inuti kurvan och axeln. Området för varje remsa är höjden × bredden vid den punkt på axeln som beaktas. Bredd är ett värde vi kan välja, säg ∆x. Och höjd är ungefär värdet på funktionen vid den betraktade punkten, säg f (x _i). Från diagrammet är det uppenbart att ju mindre remsorna är bättre kan remsorna passa in i det avgränsade området, varför bättre approximation av värdet.

Så i allmänhet den bestämda integralen I, mellan punkterna a och b (dvs. i intervallet [a, b] där en1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, där n är antalet remsor (n = (ba) / ∆x). Denna summering av området kan enkelt representeras med hjälp av summeringsnotationen som I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Eftersom approximationen är bättre när ∆x är mindre kan vi beräkna värdet när ∆x → 0. Därför är det rimligt att säga I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Som en generalisering från ovanstående koncept kan vi välja ∆x baserat på det betraktade intervallet indexerat av i (välja bredden på området baserat på positionen). Då får vi

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Detta är känt som Reimann-integralen för funktionen f (x) i intervallet [a, b]. I detta fall är a och b kända som den övre och undre gränsen för integralen. Reimann integral är en grundläggande form av alla integrationsmetoder.

I grund och botten är integration summeringen av området när rektangelns bredd är oändlig.

Vad är skillnaden mellan Integration och Summation?

• Summation är att lägga till en sekvens av siffror. Vanligtvis ges summeringen i denna form ∑ ⁿ _{i = 1} a _i när termerna i sekvensen har ett mönster och kan uttryckas med en allmän term.

• Integrering är i princip det område som begränsas av funktionskurvan, axeln och övre och nedre gränser. Detta område kan ges som summan av mycket mindre områden som ingår i det avgränsade området.

• Summation involverar de diskreta värdena med övre och nedre gräns, medan integrationen innebär kontinuerliga värden.

• Integration kan tolkas som en speciell form av summering.

• I numeriska beräkningsmetoder utförs alltid integration som en summering.