Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integration är ett huvudämne i kalkylen. I bredare bemärkelse kan integration ses som den omvända processen för differentiering. När man modellerar verkliga problem är det lätt att skriva uttryck som involverar derivat. I en sådan situation krävs integrationsoperationen för att hitta funktionen, som gav det specifika derivatet.
Från en annan vinkel är integration en process som sammanfattar produkten av en funktion ƒ (x) och δx, där δx tenderar att vara en viss gräns. Det är därför vi använder integrationssymbolen som ∫. Symbolen ∫ är faktiskt vad vi får genom att sträcka bokstaven s för att hänvisa till summan.
Riemann Integral
Betrakta en funktion y = ƒ (x). Integralen av y mellan a och b, där a och b tillhör en uppsättning x, skrivs som b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Detta kallas en bestämd integral av den enstaka värderade och kontinuerliga funktionen y = ƒ (x) mellan a och b. Detta ger arean under kurvan mellan a och b. Detta kallas också Riemann integral. Riemann integral skapades av Bernhard Riemann. Riemann-integralen av en kontinuerlig funktion är baserad på Jordaniens mått, därför definieras den också som gränsen för Riemanns summor av funktionen. För en verkligt värderad funktion definierad i ett slutet intervall, Riemann-integralen av funktionen med avseende på en partition x 1, x 2, …, x ndefinierat på intervallet [a, b] och t 1, t 2,…, t n, där x i ≤ t i ≤ x i + 1 för varje i ε {1, 2,…, n}, definieras Riemann-summan som Σ i = o till n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue är en annan typ av integral som täcker en mängd olika fall än vad Riemann integral gör. Lebesgue-integralen introducerades av Henri Lebesgue 1902. Legesgue-integration kan betraktas som en generalisering av Riemann-integrationen.
Varför behöver vi studera en annan integral?
Låt oss betrakta den karakteristiska funktionen ƒ A (x) = { 0 if, x inte ε A 1 if, x ε A på en uppsättning A. Sedan slutlig linjär kombination av karakteristiska funktioner, som definieras som F (x) = Σ a i ƒ E i (x) kallas den enkla funktionen om E i är mätbar för varje i. Lebesgue-integralen av F (x) över E betecknas med E ∫ ƒ (x) dx. Funktionen F (x) är inte Riemann integrerbar. Därför omformulerar Lebesgue integral Riemann integral, som har vissa begränsningar för de funktioner som ska integreras.
Vad är skillnaden mellan Riemann Integral och Lebesgue Integral?
· Lebesgue-integralen är en generaliseringsform av Riemann-integralen.
· Lebesgue-integralen tillåter en oändlig oändlighet av diskontinuiteter, medan Riemann-integralen tillåter ett begränsat antal diskontinuiteter.